今日永代経の中止のお知らせを配布してから、疲れたので休んで図を見ていたら、面白いことに気がついた。その図とは次の三角形の極線の図。
今まで三角形の極線を描くのが面倒だったので、内接円錐曲線を作ってその極線を考えていた。ところがこの考えだと、それぞれの円錐曲線によって極線が異なってくる。
そこで本来の三角形の極線はどうなるのか調べてみた。
ポンスレの定理は、「円（円錐曲線）に於いて、極線上の点の極線は元の極を必ず通る」というモノ。これを使ってずっと前に発見した「三角形極線の極線は内接楕円の接線となる」の証明を試みていたが、一か月も経つのに一向にできない。
そもそも数年前に、円の場合はポンスレの定理が成り立つのだから、三角形も同じだろうと思ったのが最初の思いつきで、実際に作図をしてみた。
ところが、この極線は予想とは違って、極を通るのではなく、極と極線が作る内接円錐曲線に接しているのだ。このことはとても不思議だったから、何とか証明しようと思ったのだけど、一向にできない。
今日、そもそも三角形の極線とは何だったかと考えていて、円の場合は極を通るのだから、三角形の場合も同じようなことが言えるはずだと考えていたら思いついた。
それは、三角形の極線上の点の三角形極線は元の極は通らないけど、その極の作る内接円錐曲線に接している。とすると、二つの極線の交点は二つの極の内接円錐曲線に接するのではないかと予想して、内接円錐曲線をあと二つ作図して確かめてみた。
「三角形の極線上の点の極線はその極線の極が作る内接円錐曲線に接する」一方、ポンスレの定理は「円の極線上の点の極線は極を通る」。
だから、極が円錐曲線になったものと考えると、Ｄの極線とTの極線の交点Ｚの極線はⅮとＴの円錐曲線に接する。そして、Ｚの極線とＴの極線の交点Ｒの極線はＺとＴの円錐曲線に接する。
確かに極＝内接円錐曲線と考えると、ポンスレの定理と同じことが言えている。
なるほど、きれいな法則があるのだと感心した。
ニュートンには及びもつかないけど、新しい発見だ。
これを使って何とか証明できないものか。
