春の雪はすぐにとけると思っていたら、もう３０㎝を超え５０㎝に近づいている。
一日中図形の問題をやっていて座ってパソコンを見てばかりいたので、腰と目がおかしくなってきた。それなのに止めることができなかった。
この問題というのが、数年前に見つけた三角形の極と極線に関するある性質。
それは次の性質だ。
三角形の極からその極線を作図することができる。
では、その極線上に点をとって、それを極として極線を作るとどうなるのかと考えた。
当然元の極を通るだろうと思って作ると通らない。
これはどうしてだろうと思って、極を動かすと極線も動く。
その軌跡が楕円を描くことに気がついた。
その楕円は元の三角形に内接する円錐曲線（極が外に出ると変化する）で、極と極線から作図できる。
ということは、先の極線はこの円錐曲線に接するということ。
いかにも不思議だったから、何とか証明できないかと取り組んできた。
最初、極と極線と内接円錐曲線だけで証明できるのではと思っていた。
かなり近づけたけど不完全な証明しかできなかった。
次に回り道をしてみることにした。
楕円の極線の比を調べたり、放物線の性質を調べた。
放物線の極と極線ではいろいろな発見があった。
その発見の証明も一か月ぐらいかかった。
そして、放物線の焦点から完全四角形にたどり着いた。
完全四角形の比を調べると、内接円錐曲線がなくても内分・外分の比が出てくる。
そして昨日、三角形ではなく四角形に内接する楕円の性質にたどり着き、
極線と楕円の接点Ｗを見つけた。
夕方近くなってついに糸口を見つけた。
ついに証明できた！
方向は正しかった。
今まで何とか証明しようとして線や点を加えていったが、今回は点や線ををどんどん消していって単純にしたのがよかった。最後は三角形まで消した。
いったい何年取り組んできたのだろうか。
２０１７年に書いたのに載っているからそれ以前、４年間悩んできたことになる。
作図やメモだけでＡ４用紙を一締めぐらい使った。
かけた時間は計算できないくらい。今夜はゆっくり眠ることができる。
極線上の極の三角形極線が円錐曲線に接することの証明 – GeoGebra
この説明が実は大変。
どうやってまとめようか悩んでいる。
