以前発見したことを、命題にしてみた。
「放物線の外接三角形の極線は外接三角形の重心を通る」
つまり「重心の極線は極を通る」
ちなみにＢを動かして極Ｏとｘ６４８を一致させると、極線はオイラー線とぴったり一致する。そして、極の軌跡が不思議な曲線を描いている。
そもそもの発端は、逆に三角形から内接円錐曲線を描いたときに、オイラー線の極がｘ６４８と一致することを見つけ、円錐曲線が放物線になることを予想した。
さらに他にも放物線になる場合があることに気が付き、極線が重心を通る時に放物線になることも予想できた。
そこで、作図を逆にやってみたのだ。するとぴったり。これは証明したと同じだと思うけど、やっぱり証明は必要なのだ。
きちんと作図をすると確かにこの命題は言えるのだけど、いざ証明しようとすると難しそう。誰か証明に挑戦してくれないかと願う。
[図の説明］Ｂは直線ＩＥ上の点。
Ｏは外接三角形の極でその極線は必ず重心Ｇを通ることがわかる。
これで放物線の外接三角形について①外接円が焦点を通ること②垂心が準線を通ること③極線の極線が準線で二等分されること。そして今回の④極線が重心を通ること。
これで４つの性質が見つかった。
放物線の外接三角形という特別な場合だけど、意外に不思議な性質があるものだ。
これを楕円でも言えるのかと調べてみると、放物線だけのよう。
だから、それはどうしてなのかと気になる。
