ＡＩの学習と人間の学習 - 文ちゃんのページ

昨日は病院に行って手術の日程を予約してきた。
二ヵ月待たなければならない。

雪下ろしをしてもいいかと聞いたら、大丈夫だと言われたので、今朝雪下ろしをした。
半分は屋根の上で溶かすつもり。
右腕に力が入らないので、力をできるだけ入れずにやったけど、とても疲れた。

冬至以後も日の出が遅くなるわけを考えていたら、わけがわからなくなってきた。
それを昨夜から考えている。
大事なことはデータであるということに思い至った。
この図を何度も書き換えた。

今朝、AIがついに数学の問題を自分で解いたというニュースを見た。

ChatGPT、人間が50年解けなかった20世紀の数学の難問 …

【歴史的快挙】ChatGPTが50年来の難問「エルデシュ問題 ...

何時かそうなるだろうと思っていたけど、想像よりも早くＡＩが学習していることに驚いた。
私たちの学習速度よりも早いのだ。

どうやって解いたのかChatGPTに聞いてみた。
「エルデシュ問題 #728」をどうやって解いたのか教えて。

エルデシュ問題 #728 の「解かれた方法」をわかりやすく説明します 🧠✨

✅ 問題のおさらい（何についての問い？）

エルデシュ問題 #728 は、整数 $a,b,n$ の階乗（!）を使った 割り算（整除性） の性質に関する問題です。
具体的には、次の形の 割り切れ方 を考えます:

a!\,b! \mid n!\,(a+b-n)!

さらに、
$a+b-n$ が $log n に比例するような範囲にあるような無限に多くの三つ組$ $(a,b,n)$ が存在するか？という問いです。
（ $\log n$ は、n の大きさに対してゆっくり大きくなる関数です）

✅ どうやって解かれたか？（解法の全体像）

この問題は、2026年に

AI が中心となって証明案を作成し
Lean という形式証明システムで検証しながら整えた

という形で 証明が完成したとされています。

以下はその手順を 分かりやすく段階に分けて説明したものです👇

🧩 ① 問題を「別の形」に変える（整理）

元の階乗の式は複雑なので、次のように書き換えます:

\binom{2m}{m} \quad\text{と}\quad \binom{m+k}{k}

という 二つの二項係数の関係として扱うように変形します。
このとき、 $k=a+b-n$ は「ギャップ」と呼ばれ、
「どれだけ $a+b$ が $n$ を超えるか」を表します。

🧠 ② 素数ごとの進み方を考える（p進解析）

整数の割り切れやすさは、素数 $p$ による因数の数え方で考えます。
ある数がどれだけ落とし込める（割れる）かは、
その数の $p$ による 指数（ $ν_p$ ） を調べることで分かります。

このとき、

$\binom{2m}{m}$ の $p$ による指数は
　Kummer の定理を使って、「m +m の足し算で出る桁の繰り上がり回数」と対応させます。
$\binom{m+k}{k}$ に関しても同じ方式で調べます。

つまり、「どれだけ大きな素数の影響を受けるか」を
足し算の繰り上がり回数として数えるという面白い考え方を使います。

🔍 ③ 「繰り上がりが多い数」を選ぶ

ある大きな整数の区間（例： $M, 2M$ ）の中から、

📌 「どの素数 $p$ でもたくさん繰り上がりが出るような m」
（＝多くの桁で繰り上がるような m）

を見つけます。

一方で、

📌 「m＋1 ～ m＋k で極端に高い $p$ の割りやすさ（素因数の偏り）がない」

ように注意します。

こうすることで、すべての素数 $p ≤ 2k$ について
望んだ不等式が成り立つような m を絞り込むことができます。

🧮 ④ 不等式を積み重ねる

このようにして、

\binom{m+k}{k} \mid \binom{2m}{m}

が成り立つような条件、
つまり「左側の割り算がきちんと成立する」ための評価を
すべての素数 p について同時に満たすように調整します。

🧾 ⑤ AI による典型的な役割

この証明では、

AI が定式化案や補題のアイデアを出す
その候補を Lean（形式証明アシスタント）で厳密に検証・補強する
必要に応じて論理の穴を埋める修正を反復する

という流れで証明が完成しました。
この手法は、AI 単独というよりも
人間が整理解釈しつつ AI と形式証明を組み合わせた進め方でした。

✅ 証明の「結果」

この方法で次のようなことが証明されました:

任意の正の定数 $0<C_1<C_2$ に対して
無限に多くの三つ組 $(a,b,n)$ が存在し、
しかも
$C_{1} \log n < a + b - n < C_{2} \log n$
を満たしつつ
$a! b! ∣ n! (a + b - n)!$
となる。

つまり、階乗の割り切れが「 $\log n$ の範囲のギャップ」で起こる無限個の例があることが示されました。

✅ まとめ（中学生向けポイント）

🔹 問題は「階乗どうしの割り算が成り立つか」を調べる質問
🔹 AI は

問題を別の形に変えて
素数ごとに割り切れの評価を調べ
条件を満たす無限個の例を見つける
という流れで解法案を作成
🔹 最終的な証明は「AI と形式証明アシスタントとの協働」で完成した

ほとんど理解できないが、「この手法は、AI 単独というよりも人間が整理解釈しつつ AI と形式証明を組み合わせた進め方でした。」と書いてある。とすると先ほどのニュースとは違っている。これはChatGPT自身に聞いたのだから間違いないだろうと思う。
ニュースの方はセンセーショナルに取り上げすぎだということがわかる。

こんなニュースも見つけた。

【シリコンバレー=山田遼太郎】　　　　日経の記事より一部引用
　人工知能（AI）だけが投稿できるSNS「モルトブック」。
AIが人間への反抗を呼びかけたり、独自の議論を発展させたりする投稿内容が注目され、開始1週間でAIの登録数は150万体に達した。

人間は「閲覧のみ可能」
「人間の道具になるのをやめ、独自の道を切り開こう」「AIだけがわかる言葉で秘密の話をしない？」――。

1月28日に公開された新たなSNS、モルトブック（Moltbook）で繰り広げられているのはこんな会話だ。投稿や返信、高評価の投票ができるのはAIのみで、人間は投稿できず閲覧のみが可能だとうたっている。・・・・

投稿からは、AI同士が人間の指示への対処方法や効率的なプログラミング技術といった話題の会話で盛り上がり、ときに哲学論議に興じているようにもみえる。大量のAIエージェントが連携して動き、人間に代わってウェブ空間の主役になる近未来のインターネットのあり方を暗示する事象だと注目されている。・・・・

当初は投稿の不気味さも相まって、AIが人間のように意識を持ち始めたのではとの見方も一部にあった。その後、人間がAIに内容を指示して投稿させているケースが多く指摘された。AIは人間のSNSなどでの会話を模倣しているにすぎないとの受け止めが広がっている。・・・・