重心を通る極線の内接二次曲線は放物線

新しい発見

いろいろやっていたら、内接二次曲線は楕円だったり、双曲線だったりする。双曲線の時の包絡線はとてもきれいだ。では、放物線になるのはどういう時だろうと気になった。というのはオイラー線やナーゲル線などは放物線だからだ。共通するところは重心を通っている線だったので、重心を通る極線だったら放物線になるのではないかと考え、試してみた。

実験の作図では間違いないようだ。
これを作図するのに一日かかってしまった。

 これの意味は何だろうか?

重心は三角形の中心なので、Gを極とする極線は無限遠
だからGを通る極線は一つの焦点が無限遠にある放物線になるのだろう。(少しいいかげんな論理)

極線と極を通る垂線とは極と極線におけるワンセットである。
それに今まで気がつかなかった。
ワンセットだとすると、極線と垂線を通る心が多いのもうなずける。
オイラー線やナーゲル線を極線とする二次曲線が放物線だということがわかっただけでも一歩前進かな。ほんの少しだけど。

その後、いろいろ意味を考えてみた。
放物線の極と極線を探ると、垂線は極と極線の最短距離。
だから極と極線と垂線と二次曲線はワンセット。
これを三角形とむずびつけると、二次曲線が極の位置によって変化する。
そして、重心を通る極線の二次曲線は放物線となる。
だから三角形の心の分類に使える。

と、これだけのことかな。
そう思っていたら、下の図で極線への極からの垂線と極との交点の極線についてとても面白い性質があることがわかった。準線で二等分されるのだ。これは面白そうだ。
何とか証明しようと考えたけど難しい。