昔、遠山啓さんの数学入門を読んでいたら、円錐曲線のことが出ていて、
円錐の切断の図で楕円の点から焦点までの距離の和が一定であることが証明してあった。
その時、双曲線だったらどうなるのか証明しようとしたができなかった。
昨日ジオジェブラを使えばできるのではないかと思って作ってみた。
まずは楕円の場合。
球の中心を動かしてみると、焦点は平面と球との接点ということがわかる。このことから楕円周上の点と焦点を結んだ線の長さの和が常に一定であることがすぐにわかる。
ここまでが「数学入門」だったと思う。
この時、双曲線でも同じようなことが言えるはずだと思って証明を試みたのだ。
双曲線の場合は、双曲線上の点Ｔと二つの焦点との距離の差は一定であることがわかっている。
いろいろ作図していたら、この図ができた。簡単ではなかったが、楕円の場合からいろいろな可能性を類推した。ジオジェブラがあったから作図ができたと思う。図が出来たら証明は簡単だった。うれしくて眠れなかった。
Ｔから頂点Ｂを通る直線を引くと、球との接点がわかってくる。
ＴＩは一定だから差が一定になる。
ＴをＤに持ってくると、ＡＤと等しくなることがわかる。
