植物の黄金角の問題が解けた！！！

#生物学
ここ3日ほど他は何もせずに、集中して問題に取り組んだ
 
第１４回：全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す
http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/skondo/saibokogaku/fibonacchi.html
大阪大学の近藤滋先生のサイト
このサイトに、オーキシンのことが書いてあった。
 
近藤先生の仮説は
(1)  ひとつ前の原基の阻害効果が一定の比率で減衰する（ただし四個以上古いものは無視）
(2)  原基の回転角度は常に一定
 
(1)は納得。オーキシンの濃度が指数関数になれば、黄金比は自然に出てくる。
ただ、この(2)が気になる。
これは、黄金比を求めるための仮説だ。
でも、二番目の葉原基は１８０度の所に出現するのが自然である。
そこで、いろいろシュミーレーションをしてみた。
 
私の仮説は
(1)ホルモン（オーキシン）濃度によって、黄金比で葉原基が出現する
(2)そのまま回数を重ねると、自然に黄金角になる
 
(1)は、指数関数が自然に黄金比になるにはどういう仕組みであればよいか。
回転角度が一定を仮定しなくても黄金比が出てこないか。
さらに、自然に黄金角が出てくるようになるためには・・・
ということで、(2)になることをエクセルで確かめた。
シュミレーションでは正しいことはわかっていたが、
実際に(2)を証明するには一週間以上かかった。
証明は困難だったが、
今日、８月５日に一般項を見つけ出し、極限を求めることができた。
 
(2)を数学の言葉で表すと、
漸化式
Ｚ0＝１，Ｚ1＝ｐ，Ｚ2＝２（１－ｐ）
Ｚn＝Ｚn-3・ｐ＋Ｚn-2・（１－ｐ）
の一般項を見つけ、その極限が０．７６３９３２０２３・・・
になることを証明するという課題である。
 
漸化式を求めた時点で、それをどう解くかだけだったが、
特性方程式が虚根になったので戸惑っていたが、
計算してみると、大丈夫だった。
植物の葉原基の出現は、自然に黄金角になることがわかった。
１５年来の問題がやっと解決できた。