解の公式は、Ｘ＝（－ａ±√（ａ＾２－４ｃ））／２
ところで、Ｘ＝α，βとすると、
（Ｘ－α）（Ｘ－β）＝Ｘ＾２－（α＋β）Ｘ＋αβ＝０ ・・・(2)
つまり、ａ＝－（α＋β），ｂ＝αβだから
Ｘ＝（（α＋β）±√（（α＋β）＾２－４（αβ）））／２ ・・・(3)
この式をよく見てみよう。
二次方程式の根は２つあるが、
このαβを入れ替えても良いということがわかる。
もちろん(2)からもわかるが、
この式は解の公式がαとβに関してまったく対称であることを示している。
つまり、αとβを入れ替えても(1)の式は必ず０になる。
さらに、√の中を見ると、
（α＋β）＾２－４（αβ）＝（α－β）＾２
つまり、
Ｘ＝（（α＋β）±√（（α－β）＾２））／２ ・・・(4)
これはα＝βの時があることを示している（重根）。
ルートを展開すると、
Ｘ＝（（α＋β）±（α－β））／２
この式の（α－β）・・・(5)は対称ではないのに、
入れ替えても答えは同じになる。
ここで、三次方程式について同じように考えると、
（Ｘ－α）（Ｘ－β）（Ｘ－γ）
＝Ｘ＾３－（α＋β＋γ）Ｘ＾２＋（αβ＋βγ＋γα）Ｘ－αβγ＝０ ・・・(6)
だから、根をどのように入れ替えてもこの式は対称である。
では、(5)と同じように考えた式
（α－β）（β－γ）（γ－α）＝Δはどうなるのか？
入れ替えると同じ値になる場合は限定される。
例えばα⇔βでは－Δになってしまう。
でも、α→β→γ→αと変えれば、値は変わらない。
これを根の置換群で考えると
(6)の式を変えない３つの根の置換は３次の対称群になり、
Δの値を変えない置換はそのうちの遇置換になる。
遇置換の全体は３次の交換群になる。
４次だと４次の対称群と交換群である。
この様に根の置換は群をなしている。
では、具体的な方程式について考えるとどうなるのだろうか。
