今朝、ビンカンを出した時にふと思いついたアイデアを試していたら、証明できてしまった。丸２か月かかったけど、毎日考えていたので解けたと思う。
毎日発見があって楽しかった。
ただし、それは「アポロニウスの問題」のほんの一部で、全体が解ったわけではない。
さて、問題は、円の接線の関係において
「下図のGが特別の点であって、根軸からの接点までの距離と等しくなるということを証明する」
というもの。⇨二円の根軸に関する基本定理 – GeoGebra
下の図のそれぞれのシートが、その思考の変遷を示している。
最終的に「極線と極の問題」だということにたどり着いたのが、大きなヒントだった。
そして、一見、対称的に見えないことの中に対称性が潜んでいることも重要だった。
証明はこのシートの最後にある。
ちなみに計算でも試してみたが、うまくいかなかった。
最初のシートは正しいが、その後の三枚のシートはさも平行であることが証明できているように書いてあるけど、実は証明できていない。注意してみると循環論法に陥っていることがわかる。（前の４枚のシートは消そうと思ったけど、あえて残しておく。
苦闘の経歴だけで、体系的には全く不要。）
最後のシートでやっと平行であることが示せたのだ。
この探求の変遷を見ると、段々単純な図になっている。
複雑なモノを単純にしていくということは、本質を探り当てていく過程なのだろう。
何時もの事だけど、「なんだそんなことだったのか」という感覚が、拡張されたことが簡単に使える（応用できる）理由だろうと思う。
ずいぶん時間がかかったけど、いろいろ学べて実に楽しかった。
尺取り虫がお椀の周りをいつまでも回るように、毎日同じことを繰り返していたけど、いつの間にやらお椀から出ていたのだった。
でも、この発見の過程をうまく説明することはできない。
浄土の光が当たったとしか言いようがない暗黙知なのだ。
