証明できた!

一か月以上考えていた問題が、今朝解けた

起きてきて、いつものようにトイレで考えていたら、何かつながるものがうっすらと見えはじめ、1時間ほどで、方向がはっきりと見えてきて自然につながった。

それは「放物線の外接三角形の垂心は準線上にある」ということを3月ごろ見つけたので、何とか証明しようとしていたのだ。

実は今までも何度か解けたと思う時があった。だけどあまり喜びが湧いてこない。
どうしてだろうと検証してみると、間違いに気が付くということが何度かあった。
今回は間違いなく喜びが出ているし、道筋を振り返ると登山の景色のように感じる。
そして、解けてみると何を迷っていたんだ(悩んでいたんだ)ろうと思う。

今回解けたのは、垂心の基本的な性質が外接円と結びついたからだ。

悩んでいたのは、どう立式をするか=何を証明したらいいのかということだった。
最初は垂心が90度になることを示そうとしたけど挫折。
次は垂心でなく準線との交点が垂心になることを証明しようとして挫折。
いろいろやっているうちに、垂心と外接円の関係に気が付く。
それが言えれば直角になるのだけど・・・と考えていたら、
最初の垂心が90度になることが頂点の移動で簡単に言えることに気が付いた。

もっともこれも、外接三角形の外接円が焦点を通ることを証明するときに、
頂点を移動させれば良いということを使ったので、何度もその証明をシュミレーションして同じだと気が付いたのだ。

大事なことはその現象をシュミレーションすることだ。ここへ移動させればどうなるのかと考えることだった。

 だから、Geoでいろいろな線を書き込んで複雑にすると余計わからなくなる。
最も大事な現象を深く追及するためには、何かを固定して移動させるという発想が必要だった。