朝４時頃から眠れなくなり、図を描いていたらつながった。
「一週間に一つ発見しているんですよ」と友人に豪語したけど、そう簡単に新しい定理は発見できない。でも定理は発見できないけど新しいつながりは発見できる。
学校で数学を教えていた時に、米倉さんという生徒が直角三角形の性質で新発見をした。数年後それを授業でとり上げたら、田尻君が新発見をした。さらにそのことを話したら渡辺君が新しい見方を示してくれた。米倉さんと田尻君の発見は一般の三角形に拡張することができた。渡辺君のもできるのではないかといろいろやってみたけどうまくいかなかった。
昨年から３円相似の問題に取り組んでいた。やっていて田尻の定理は３円相似に拡張できることに気がついた。３円相似には外と内がある。今朝それを書いていて、この違いって何だろうと考えていたら、内の方が田尻の定理、外の方が渡辺の定理と結びついていることに気がついた。
数十年たってこの３つの発見が結びついたのだ。
うれしかったので、ジオジェブラでアプレットを作ってみた。
△ＡＢＣから外側に、△ＡＢＣが中心の垂足三角形になる新しい三角形ＥＦＧができる。内側には茶色の垂足三角形ができる。
内側が田尻の定理、外側が渡辺の定理（彼は頂点を折り曲げたけど同じこと）。
当時二人とも外心で作図したのだけど、垂心にしてその違いと意味を探ってみた。△ABCの垂心は内三円では内心になり、外三円では外心になる。
これを数学用語では双対性という。
これで３人のやったことが繋がり、併せて新しい課題を見つけ出す集合知の在りかたや発展の仕方、意味の発見とはつながりの発見であることが見えてきた。
・・・「表現」と「推論」と「発見」は分けることができない。三円相似と発見の道筋 （２０２０．１） [New]
