反比例y=1/xの積分が対数logになるわけ

まだのどが痛いけど、熱の方は下がったようだ。
いつもなら、鼻水が黄色くなるけどまだ透明なままだから時間がかかっている。

熱が下がるとじっとしておれないのが性分だけど、外出は控えている。
やらなければならないことが沢山あるからだ。
当面は寺割。サークルと地区の役員会もある。

外出しないでコタツに座っていたら、久しぶりに数学の芽が伸び出した。
取り組んだことは、反比例の積分がLog関数になるということを説明するアプレットを作ること。

これは作るのが難しかったけど、反比例のグラフからlogとの関係が見えてくるというのは意味があると思う。というのはベキ関数(y=x^n)の原始関数は自然にわかってくるけど、y=x^(-1)の原始関数はわからない。逆に微分の方から対数関数ということがわかるけど、1/xとLogxがなぜつながるのか昔から不思議だった。

歴史的にはどう発見されたのか調べてみると、対数の発見と関連があることがわかった。対数は計算を楽にする必要から創り出された。つまり、かけ算を足し算にするのが対数である。一方、放物線や円や楕円の面積は求めることができるようになっていた。残りは双曲線である。双曲線の面積を求めようとしていたら、等比が等差になることに気がついた。つまり、かけ算を足し算に変換できるということであり、対数と関連があるということだ。

このことにどうやって気がついたのかというと、

そして次のように計算して確かめたたのだ。

赤い長方形は等積であることは計算からすぐにわかる。次にこれをk等分する。この場合は左の方から順番に対応している長方形が等しくなるということが計算できる。このkを無限にすれば、双曲線の面積になるので、前の図が言えるのだ。

これを発見したのは、ベルギーの神父グレゴリー・聖ヴィンセント。

ここまでくれば、原始関数が対数関数であると予想できる。

詳しくは次のページを
291、y=1/xの積分はどう求めるか 

・・反比例の積分がLog関数になるわけ  (2019.12)